Tiziano Stradoni
Museo di Palazzo Forti, Verona
L'applicazione di concetti metrici alla filosofia della scienza: il caso della verisimilitudine
"there is a faulty use of numerical analogy in speaking of a limit of theories, since the notion of limit depends on that of "nearer than", which is defined for numbers and not for theories" Quine, Word and Object
Negli anni successivi alla seconda guerra mondiale molti filosofi della scienza, in base ad una tradizione già ben radicata, hanno sviluppato l'uso di funzioni algebriche come controparte di definizioni filosofiche. Tra i più importanti esponenti di questa corrente è certamente Hintikka, che, per esempio, a proposito dei problemi della logica induttiva scrive: "Nello sviluppare una logica induttiva lungo linee carnapiane il problema fondamentale concerne la scelta della funzione di misura sottostante" (Hintikka, Towards a Theory of Inductive Generalization, 1964). La discussione su un concetto filosofico si risolve nella discussione sui criteri in base ai quali scegliere tra le varie metriche definibili su un adeguato "linguaggio", dove per linguaggio usualmente si intende un linguaggio formalizzato, come il calcolo predicativo del primo ordine, o meglio una struttura algebrica derivata da esso.
Il dibattito degli anni ottanta sul concetto di verisimilitudine rappresenta una delle espressioni più emblematiche di questa impostazione.
Dopo il fallimento del tentativo di Popper di definire una funzione di verisimilutudine che ne soddisfi il "concetto intuitivo" , molti autori si cimentano nel tentativo di risolvere il problema; spiccano in particolare i contributi di Niiniluoto ed Oddie, che raccolgono il frutto della loro ricerca nei due volumi, Truthlikeness e Likeness to Truth, rispettivamente del 1987 e del 1986, dove, a partire dalla discussione delle rispettive, contrapposte, metriche come più adeguate ad interpretare il concetto "intuitivo" di verisimilitudine o distanza dal vero, i due autori passano inevitabilmente a porre in discussione quale sia il concetto "intuitivo" di verisimilitudine.
Quanto maggiormente interessa in quella discussione è però il peculiare metodo che entrambi utilizzano per giungere alla definizione. Si tratta della teoria dei costituenti sviluppata da Hintikka per i linguaggi predicativi del primo ordine e successivamente largamente generalizzata. Attraverso questa teoria e quella correlata delle forme normali disgiuntive otteniamo, in analogia con il caso proposizionale, una controparte puramente logica ad alcune ben note strutture algebriche: sembra possibile dunque usare i costituenti come ponte tra concetti filosofici ed algebrici.
Visti invece da un punto di vista intuitivo i costituenti rappresentano la versione linguistica dei mondi possibili: per es.: "replace possible worlds by maximally strong description of possible worlds, i.e. Hintikka's constituents, and then specify explicitly a distance measure between constituents" (Niiniluoto 1987 p.204).
Chiamiamo linguaggio monadico il caso più semplice, quello di un linguaggio predicativo del primo ordine con una classe F di formule generata da un numero finito di predicati ad un posto, senza termini individuali ne identità; l'esempio, se pur elementare, è preponderante nella discussione sulla verisimilitudine; in questo caso possiamo riassumere la teoria dei costituenti in due punti:
a) ogni formula consistente in cui non appaiono quantificatori è equivalente ad una disgiunzione finita di formule, i costituenti di livello 0, del tipo
Qi = (±p0x&..&±pix&..&±pnx)
dove ± va sostituito o con nulla o con l'operazione negazione, pi è un predicato primitivo. Combinatorialmente si possono costruire 2n Qi , tutti consistenti.
b) ogni enunciato consistente è equivalente ad una disgiunzione finita di formule, i costituenti di livello 1 del tipo
Ci = (±ExQ1x&..&±ExQix&..&±ExQkx) con k=2n
dove ± va sostituito o con nulla o con l'operazione negazione, Qi è un costituente di livello 0. Combinatorialmente si possono costruire 2k Ci , ma la formula C0 in cui appaiono solo e soltanto quantificatori esistenziali negati è inconsistente.
Dal punto di vista di Oddie e Niiniluoto il problema principale che si pone è quello di definire una misura generale di distanza o similarità tra i costituenti di un determinato livello, per poi estenderlo a tutti gli enunciati tramite una seconda funzione di distanza basata in linea di massima sulla definizione corrente di differenza simmetrica..
Si dimostra facilmente che la classe C dei costituenti, è una particolare algebra di Boole, per appropriate definizioni degli operatori. Allora, è immediato definire: D(Cj,Cn)=Ck ,dove per ogni i,
ExQix appare in Ck sse appare non negato (o negato) sia in Cj che in Cn,
-ExQix appare in Ck altrimenti.
Senza entrare nel complesso dibattito tra i due autori su questo punto specifico, possiamo dire che le funzioni di distanza proposte sono tutte varianti di D.
Una volta definita una relazione di distanza tra costituenti, ed in particolare tra costituenti di livello 1, possiamo passare ad una definizione generale di dissimilarità tra enunciati estendendola opportunamente in base al teorema di Hintikka sulle forme normali disgiuntive nei linguaggi predicativi.
Un filosofo inglese, D. Miller, sviluppa in quegli anni un controesempio a queste definizioni di verisimilitudine che esula completamente dalla discussione sulla loro adeguatezza rispetto a presunti criteri intuitivi, ma sembra porre in questione proprio la strategia adottata.
Del resto, come ha riconosciuto lo stesso Niiniluoto, il controesempio ha particolari affinità con il paradosso dei "grue emeralds" sollevato da Goodman contro la definizione di corroborazione con i medesimi risultati dirompenti.
Il controesempio di Miller si muove all'interno del semplicissimo linguaggio monadico, rispetto ad una qualsiasi definizione di distanza tra costituenti.
Data una tal funzione d ed un linguaggio "monadico" P con una classe C di costituenti ed una classe p di predicati primitivi ad un posto, egli definisce un nuovo linguaggio P*, del medesimo tipo e con una classe di costituenti C*, con la stessa cardinalità di C, tale che:
- per ogni enunciato del linguaggio originario esiste esattamente un enunciato nel nuovo linguaggio che ha le medesime condizioni di verità, la sua traduzione.
- dati due costituenti, a1 ed a2 , siano a*1 ed a*2 le loro traduzioni in P*. Allora, dato un qualsiasi altro, diverso, costituente ai e la sua traduzione a*i, d(a1,ai)=d(a*2,a*i) e d(a2,ai)=d(a*1,a*i)
Con questo si dimostra che la metrica data non è conservata per linguaggi equivalenti: infatti da 2) ricaviamo che:
se d(a1,ai)„d(a2,ai) allora d(a*1,a*i)£d(a*2,a*i).
Si può generalizzare questo controesempio di Miller con facili metodi algebrici applicati al caso monadico: ampliando la teoria dei costituenti in modo da avere forme normali disgiuntive per ogni formula, e non solo per predicati e enunciati, possiamo dimostrare che data una coppia di costituenti, se essi soddisfano la condizione:
**) entrambi implicano lo stesso numero di Q-predicati esemplificati
allora esiste una classe di "primitivi" p* tale che
1) la classe di costituenti di livello 0 generata da p* è diversa di quella generata da p.
2) la classe di costituenti di livello 1 generata da p* è identica, modulo equivalenza, a quella generata da p
Abbiamo cosìun metodo per creare, data una coppia di costituenti che rispetti la condizione **) , una classe alternativa di primitivi che genera un linguaggio equivalente a quello dato, ma con una diversa struttura metrica.
Da un punto di vista intuitivo questo significa che tutti i costituenti falsi che affermano esistere un pari numero di differenti tipi di individui hanno la medesima distanza da un diverso costituente vero c*. Ma questa condizione intuitiva è certamente inaccettabile per qualsiasi sostenitore della verisimilitudine o della corroborazione.
In prospettiva queste conclusioni possono essere da un lato ulteriormente generalizzato tramite l'uso di metodi algebrici in maniera, tra l'altro, da essere applicate anche al paradosso di Goodman degli smeraldi "grue".
In entrambi i casi, possiamo vedere come, dal punto di vista prettamente logico, i nuovi predicati, lungi dall'essere "strani" e non veramente "monadici", come è stato scritto, hanno le medesime proprietà logico-algebriche dei predicati originari.
Piuttosto, parafrasando Quine, le misure di distanza definite da questi autori non sono definite per il linguaggio, fatto di predicati o enunciati, ma per una particolare algebra, quella dei costituenti.
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