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Come descrivere fatti usando numeri: il nominalismo di Field e l'applicabilità della matematica

Nell’intervento che intendo proporre discuto i risultati di Hartry Field relativi alla riformulazione intrinseca della meccanica classica e presentati in Science without Numbers. Mi soffermo su quattro questioni:

0)      Introduco il concetto fondamentale di rappresentazione, utilizzato da Field nel suo libro, e osservo che la sua riformulazione della meccanica classica si può leggere come una forma di analisi logica del concetto di applicabilità degli enti numerici.

1)      Osservo che la sua strategia nominalistica  presuppone un ruolo più forte, che chiamo ‘schematico’, della matematica di quello richiesto dal suo atteggiamento strumentalista;

2)      Osservo che la sua separazione tra enti fisici intrinseci ed enti numerici estrinseci oscura in parte il significato dell’applicazione degli enti numerici ad enti fisici e del concetto di rappresentazione;

3)      Osservo che l’uso di una teoria al secondo ordine come quella adottata da Field è problematico poiché pone restrizioni ingiustificate sulla struttura dello spazio-tempo.

Concludo che i risultati di Field forniscono un’analisi logica estremamente significativa del concetto di applicabilità degli enti matematici a modelli astratti di fenomeni fisici ma che tuttavia in questa prospettiva sembra ragionevole rifiutare lo strumentalismo di Field. Inoltre la sua versione intrinseca della meccanica formalizzata nella logica del secondo ordine può essere rimpiazzata da una più conveniente al primo ordine.

In maggiore dettaglio:

0) Illustro l’idea di rappresentazione usata da Field (riferendomi all’introduzione delle coordinate nel piano euclideo), per mostrare in che senso la usi per eliminare gli enti numerici dalla costruzione di una teoria fisica. Noto che l’interesse di una tale prospettiva non risiede soltanto nella possibilità, che essa offre, di evitare il ricorso ai numeri in un contesto empirico, ma anche nella capacità di mostrare come essi siano introdotti in una teoria ‘empirica’, cioé che cosa voglia dire usare enti numerici per descrivere fatti empirici.

1) Per chiarire il ruolo schematico giocato dagli enti matematici nella formulazione di una teoria scientifica, considero la ricostruzione intrinseca del concetto analitico di continuità di una funzione dato da Field. Mostro in che senso la presentazione intrinseca del concetto stesso sia ottenuta isolando le proprietà formali (topologiche) della nozione analitica e reinterpretandole concretamente. Ne deduco che Field può produrre concetti intrinseci perché è in grado di darne una presentazione matematica indipendente da quella numerica: qui le strutture matematiche astratte hanno un ruolo schematico (non strumentale) importante, nel senso che permettono di estrarre il contenuto ‘empirico’ di un’asserzione numerica.

2) Successivamente noto come Field presenti gli enti numerici che usa, vale a dire le coordinate dei punti nello spazio-tempo e le misure delle quantità fisiche scalari, soltanto come assegnazioni estrinseche adottate per riflettere fatti intrinseci di cui conservano la struttura. In questo senso gli enti numerici sono visti come oggetti puramente ideali, che non hanno alcun riferimento nell’esperienza e che vi sono collegati grazie ad una rappresentazione, cioè un modo di risolvere numericamente un sistema di assiomi intrinseci, come si possono risolvere numericamente equazioni simultanee in un certo numero finito di incognite. Critico questa prospettiva insistendo sulla sua inadeguatezza. Rappresentare vuol dire più che risolvere numericamente: per esempio nel caso delle quantità fisiche (come la densità o la temperatura, che Field introduce), l’assegnazione numerica di una misura emerge come idealizzazione di una procedura concreta e non come un’etichettatura relativamente arbitraria. Ciò significa che, in tal caso, le misure traducono simbolicamente l’applicazione di una procedura ad un dominio empirico in un sistema di indici che si possono imporre sul dominio stesso come una sorta di sistema di riferimento capace di fissare la posizione relativa di ciascun oggetto al suo interno rispetto a certe relazioni empiriche. 

3) Osservo che la formulazione della meccanica proposta da Field, in una logica in cui non valgono né un teorema di completezza né un teorema di compattezza è problematica. Riferendomi ad un recente lavoro di Brent Mundy (Mathematical Physics and Elementary Logic. PSA: Proceedings of the Biennial Meeting of the Philosophy of Science Association. Volume I: Contributed Papers, pp.289-301, 1990) esamino brevemente la possibilità di ricostruire la meccanica usando la logica del primo ordine.